Ein Balken ist ein tragendes Element einer Gebäudestruktur mit unterschiedlichen Auflagerbedingungen, meistens wird er an zwei Punkten unterstützt. Im Privatbau werden am häufigsten Holz und Metall als Träger verwendet, seltener Stahlbetonträger.
Balken bilden die Grundlage für Decken (Boden, Decke, Balkone) und Dächer, und natürlich möchte jeder Eigentümer seines Hauses, dass eine solche Konstruktion in seinem Haus zuverlässig und langlebig ist.
Ich habe einen sehr guten Freund, der seit vier Jahrzehnten als Zimmermann arbeitet, der ständig empfiehlt, Balken mit einer Querschnittshöhe von 2 mal Breite zu verlegen. Wie und was ist das auf den ersten Blick eine neue Regel?!
Natürlich nicht, das ist alles andere als eine neue Regel, sie wird überall angewendet und schauen wir mal genauer hin...
Wir alle haben mindestens einmal von Baumeistern gehört, dass die maximale Festigkeit eines Balkens erreicht wird, wenn eine Regel beachtet wird: die optimale Quer der Querschnitt eines rechteckigen Balkens sollte aus dem Seitenverhältnis 7: 5 bestehen - Fachleute auf ihrem Gebiet sagen, dass ein solcher Balken das Maximum hat Haltbarkeit. Aber ist es?
Hier ist nichts Kompliziertes, und um dies zu verstehen, müssen Sie sich an die Grundlagen der Physik erinnern. Die Stärke eines Balkens hängt direkt von seinem Querschnitt ab und wird nach der Formel berechnet: K * A * H², wobei A und H die Breite bzw. Höhe des Balkens sind und ZU - Koeffizient unter Berücksichtigung der Länge des Trägers und des Materials.
Zum Beispiel müssen wir einen Holzbalken von einem Rundstamm bekommen, der hätte das beste Tragfähigkeit.
Dieser Zimmermann hat für mich ein Rechteck gezeichnet, bei dem die Diagonale dem Durchmesser des Baumstamms entspricht:
Dann gibt es einige mathematische Berechnungen, diese können zum Abschnitt "Schlussfolgerung" übersprungen werden.
Der Querschnitt des Balkens wird durch die Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt, in denen der Schenkel AC (Höhe) nach dem Satz des Pythagoras wie folgt berechnet wird:
AC² = AB² - BC² und dementsprechend AC = √ (4R²-X²).
Setzen wir dies nun in die obige Stärkeformel für Stärke ein:
Festigkeit = k * X * (4R²-X²)
Ich nutzte meine Schulkenntnisse und stellte nach dem Öffnen der Klammern genau diese Funktion der Stärke in Form eines Funktionsgraphen auf einem Koordinatengitter dar:
Die Grafik zeigt uns, wie sich die Stärke der Balkenstruktur in Abhängigkeit von der Größe der Diagonalen und der Breite des Balkens (X oder Schenkel BC) ändert.
Und jetzt müssen wir die Projektion des Spitzenpunkts des Graphen auf die Achse finden, dies geschieht mit unserer bevorzugten Ableitung, die durch die Grenze des Verhältnisses des Funktionsinkrements zum Argumentinkrement ausgedrückt wird.
Wir finden X, bei dessen Wert unsere Ableitung der Funktion verschwinden würde:
X =2R√3 / 3
Die Breite des Balkens (X) kennen an der Spitze der Kraftfunktion, Wir finden die Höhe des Balkens, indem wir den Wert in die pythagoräische Formel einsetzen:
AC = (4R²-X²). Ersetzen Sie X und erhalten Sie:
h = 2R√6 / 3
Fazit
Sehen Sie, unsere Balkenbreite ist 2R√3 / 3 und die Höhe dieses Balkens beträgt 2R√6 / 3. Wenn wir eines durch das andere dividieren, erhalten wir das Verhältnis von genau √2 und dieser Wert des Verhältnisses der beiden Seiten des Balkens charakterisiert der höchste Punkt im Festigkeitsdiagramm!
Mit anderen Worten, der Träger mit der höchsten Festigkeit muss einen Querschnitt haben, bei dem seine Höhe ist √2 mal größer als seine Breite.
Und was hat das Seitenverhältnis von 7:5 damit zu tun? Angesichts der Quadratwurzel von zwei ist dies ein einfacher mathematischer Bruch 7/5. Es ist nur einfacher, mit dem √2-Wert zu arbeiten, als den 5. und 7. Teil zu berechnen.
Ich glaube, dass jeder Baumeister, der mit Bauholz arbeitet, eine Vorstellung davon haben sollte, woher dieses Seitenverhältnis kommt!
Das Verhältnis von 7: 5 haben Balken:
Vielen Dank für Ihre Zeit und ich hoffe, es war interessant!